"데데킨트 에타함수"의 두 판 사이의 차이

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*  (정리)<br><math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math><br> 여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택<br>
 
*  (정리)<br><math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math><br> 여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택<br>
*  더 일반적으로,  다음이 성립한다.<br>  <br><math>\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)</math><br> 여기서,<br><math>\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
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*  더 일반적으로, <math>ad-bc=1</math>, <math>c>0</math>인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.<br><math>\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)</math><br> 여기서,<br><math>\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
  
 
 
 
 
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<h5>유리수점(cusp) 근처에서의 변화</h5>
 
<h5>유리수점(cusp) 근처에서의 변화</h5>
  
 
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<math>y>0</math>가 매우 작을 때,
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<math>\theta(\frac{p}{q}+iy)\sim \frac{1}{2q}S(p,2q)\frac{1}{\sqrt{y}}</math>
  
 
 
 
 

2010년 1월 13일 (수) 19:56 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

모듈라 성질
  • (정리)
    \(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
    여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
  • 더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.
    \(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
    여기서,
    \(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
    \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

유리수점(cusp) 근처에서의 변화

\(y>0\)가 매우 작을 때,

\(\theta(\frac{p}{q}+iy)\sim \frac{1}{2q}S(p,2q)\frac{1}{\sqrt{y}}\)

 

 

판별식함수

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

special values

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

 

 

 

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