"데데킨트 에타함수"의 두 판 사이의 차이

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* <math>h,k</math>는 서로 소인 자연수<br>
 
* <math>h,k</math>는 서로 소인 자연수<br>
 
* <math>y>0</math>가 매우 작을 때<br><math>\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
 
* <math>y>0</math>가 매우 작을 때<br><math>\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
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(정리)
 
(정리)
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<math>q\to 1</math> 일 때, <math>q=e^{-\epsilon}</math> 즉, <math>y=\frac{\epsilon}{2\pi}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\to 0</math> 일 때,
 
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<math>q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n) \sim \exp(-\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(-\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})</math> 을 얻는다
 
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<math>q=e^{-t}</math> 으로 두면 <math>t\sim 0</math> 일 때,
 
<math>q=e^{-t}</math> 으로 두면 <math>t\sim 0</math> 일 때,
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(증명)
 
(증명)
  
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<math>F(q)= \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n}</math>
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[[분할수의 생성함수(오일러 함수)]] 에서
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<math>\log F(q)= \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} \right =\sum_{m=1,n=1}^{\infty}\frac{q^{mn}}{m}=\sum_{m=1}\frac{q^m}{m(1-q^m)}</math>
 
  
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<math>1-q^m=(1-q)(1+q+\cdots+q^{m-1})</math>  와 <math>0<q<1</math> 을 이용하면,
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<math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, <math>1-q\sim \epsilon</math> 이고  <math>\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})</math>
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<math>mq^{m-1}(1-x)<1-q^m<m(1-q)</math> 이다. 따라서,
 
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<math>\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}< \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} <\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}</math>
 
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q가 1에 가까워질 때, 
 
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<math>\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}</math>,  <math>\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}</math>
 
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이므로,
 
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<math>F(q)= \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})\sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})</math>
 
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임을 증명하였다. ■
  
 
 
 
 

2010년 3월 14일 (일) 19:47 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

모듈라 성질
  • (정리)
    \(\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi {\rm{i}}}{12}}\eta(\tau)\)
    \(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
    여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
  • 더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.
    \(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
    여기서,
    \(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
    \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

유리수점(cusp) 근처에서의 변화
  • \(h,k\)는 서로 소인 자연수
  • \(y>0\)가 매우 작을 때
    \(\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)
    \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

(정리)

\(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\sim 0\) 일 때,

\(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt\frac{2\pi}{t}\exp(-\frac{\pi^2}{6t})=\sqrt{\frac{2\pi}{t}}\exp(-\frac{(2\pi)^2}{24t})\)

 

(증명)

분할수의 생성함수(오일러 함수) 에서

\(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\) 이고  \(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\)

임을 증명하였다. ■

 

 

세타함수 형태의 표현

 

 

초기하급수 형태의 표현
  • q-초기하급수(q-hypergeometric series)의 오일러 공식
    \(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
  • \(z=-q\)로 두면, 데데킨트 에타함수의 다음과 같은 표현을 얻는다
    \(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)

 

 

판별식함수

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

special values

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

 

 

재미있는 사실

 

 

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사전 형태의 자료

 

 

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