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*  라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표 '''[RAM1914]'''<br><math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math><br>
 
*  라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표 '''[RAM1914]'''<br><math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math><br>
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* [[자코비 세타함수]], [[라마누잔의 class invariants]], [[타원적분]] 참조<br><math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br><math>\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}</math><br><math>\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}</math><br>
 
* [[자코비 세타함수]], [[라마누잔의 class invariants]], [[타원적분]] 참조<br><math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br><math>\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}</math><br><math>\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}</math><br>
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*  타원적분이 만족시키는 르장드르 항등식<br>  <math>E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}</math> ([[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]])<br>
 
*  타원적분이 만족시키는 르장드르 항등식<br>  <math>E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}</math> ([[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]])<br>
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<h5>라마누잔 파이 공식의 유도</h5>
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==라마누잔 파이 공식의 유도</h5>
  
 
* 아래의 prop, thm 번호는 '''[BB1998] '''참조
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
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==재미있는 사실</h5>
  
 
* <math>e^{\sqrt{58}\pi}=24591257751.999999822\cdots</math>
 
* <math>e^{\sqrt{58}\pi}=24591257751.999999822\cdots</math>
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==역사</h5>
  
 
*  Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula<br>
 
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<h5>관련된 항목들</h5>
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==관련된 항목들</h5>
  
 
* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]]
 
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
  
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMzQzNzVlZDAtZTgwZi00YWNiLWI3M2YtNTBkNDEzYjIyN2I4&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMzQzNzVlZDAtZTgwZi00YWNiLWI3M2YtNTBkNDEzYjIyN2I4&sort=name&layout=list&num=50
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<h5>관련도서</h5>
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==관련도서</h5>
  
 
* '''[BB1998]'''[http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
 
* '''[BB1998]'''[http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
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<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
  
 
* J. M. Borwein, P. B. Borwein and D. H. Bailey [http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/borwein/paper/html/paper.html Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to compute One Billion Digits of Pi]
 
* J. M. Borwein, P. B. Borwein and D. H. Bailey [http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/borwein/paper/html/paper.html Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to compute One Billion Digits of Pi]
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<h5>관련논문[http://documents.wolfram.com/mathematica/Demos/Notebooks/CalculatingPi.html ]</h5>
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==관련논문[http://documents.wolfram.com/mathematica/Demos/Notebooks/CalculatingPi.html ]</h5>
  
 
* [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WK2-4PW5XTP-8&_user=4420&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000059607&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4420&md5=07a10c67e340156fe912e39d39c0330a Ramanujan's series for 1/π arising from his cubic and quartic theories of elliptic functions]<br>
 
* [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WK2-4PW5XTP-8&_user=4420&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000059607&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4420&md5=07a10c67e340156fe912e39d39c0330a Ramanujan's series for 1/π arising from his cubic and quartic theories of elliptic functions]<br>
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<h5>관련기사</h5>
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==관련기사</h5>
  
 
*  The Mountains of Pi<br>
 
*  The Mountains of Pi<br>
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<h5>블로그</h5>
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==블로그</h5>
  
 
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
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* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 
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2012년 10월 31일 (수) 13:43 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

==개요

  • 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표 [RAM1914]
    \(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
  • Chudnovsky 형제  [CHU88]

\(\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!\)

 

 

==정의와 미리 알아야 할 것들

\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K'(k) = K(k')\)

\(E'(k) = E(k')\)

  • 위의 함수들을 이용하여, 양수 \(r\)에 대하여 다음을 정의

\(\lambda^{*}(r):=k(i\sqrt{r})\)

\(\alpha(r):=\frac{E'}{K}-\frac{\pi}{4K^2}\)

 

 

==singular value function 

  • 타원적분이 만족시키는 르장드르 항등식
     \(E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\) (AGM과 파이값의 계산)
  • 타원적분의 성질 
    \(K'(\lambda^{*}(r))=\sqrt{r}K(\lambda^{*}(r))\)
  • 위의 둘을 사용하여 다음을 얻는다
    \(\alpha(r)=\frac{\pi}{4K^2}-\sqrt{r}(\frac{E}{K}-1)\)
  • 여기에 타원적분이 만족시키는 미분방정식
    \(\frac{dK}{dk}=\frac{E-k'^2K}{kk'^2}\)
    을 사용하면
    \(\alpha(r)=\frac{1}{\pi}(\frac{\pi}{2K})^2-\sqrt{r}(kk'^2\frac{\.K}{K}-k^2)\)
    를 얻게 되고, 이를 다시 쓰면
    \(\frac{1}{\pi}=\sqrt{N}k_Nk'_N^2\frac{4K\.K}{\pi^2}+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]\frac{4K^2}{\pi^2}\)

 

  • \([\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =m(k)F(y(k))\) 꼴로 쓰여질때, 양변을 미분하면 다음을 얻는다
    \(\frac{4K\.K}{\pi^2}=\frac{1}{2}\.mF+\frac{1}{2}m\.y\.F(y)\)
  • 초기하급수를 다음과 같이 쓰면
    \(F(y)=\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^n\)
  • \(\frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty a_n[\frac{\sqrt{N}}{2}k{k'}^2\.m+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]m+\frac{n\sqrt{N}}{2}m\frac{\.y}{y}kk'^2]y^n\)

 

 

==라마누잔 파이 공식의 유도

  • 아래의 prop, thm 번호는 [BB1998] 참조
  • 초기하급수(Hypergeometric series) 항목의 Clausen 항등식이 중요하게 사용됨
  • prop 5.6
    \(\frac{2}{\pi}K_s(h) = \,_2F_1(\frac{1}{4}-\frac{s}{2},\frac{1}{4}+\frac{s}{2};1;(2hh')^2)\)
    \([\frac{2}{\pi}K_s(h)]^2 = \,_2F_1(\frac{1}{2}-s,\frac{1}{2}+s,\frac{1}{2};1,1;(2hh')^2)\)
  • prop 5.7
    \(K_{1/4}(h)=(1+k^2)^{1/2}K(k)\) if \(2hh'=[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}]^{-1}\)
  • Thm 5.6
    \(\frac{2}{\pi}K(k) =(1+k^2)^{-1/2} \,_2F_1(\frac{1}{8},\frac{3}{8};1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})\)
  • Thm 5.7
    \([\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =(1+k^2)^{-1} \,_3F_2(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{2};1,1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})\)
  • (5.5.16)
    \(\frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{4})_n(\frac{1}{2})_n(\frac{3}{4})_n}{(n!)^3}d_n(N)x_N^{2n+1}\)
    \(x_N=(\frac{g_N^{12}+g_N^{-12}}{2})^{-1}\)
    \(d_n(N)=[\frac{\alpha(N)x_N^{-1}}{1+k_N^2}-\frac{\sqrt{N}}{4}g_N^{-12}]+n\sqrt N(\frac{g_N^{12}-g_N^{-12}}{2})\)

 

  • \(N=58\) 일 때
    \(x_{58}=\frac{1}{99^2}=\frac{1}{9801}\), \(d_n(58)=(1103+26390n)2\sqrt 2\) 이므로 다음을 얻는다
    \(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
     

 

 

==라마누잔의 class invariants

 

 

==재미있는 사실

  • \(e^{\sqrt{58}\pi}=24591257751.999999822\cdots\)
  •  \(\frac{6}{5}{\phi}^2\approx{\pi}\)

 

 

==역사

  • Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula
\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
  • William Gosper used this series in 1985 to compute the first 17 million digits of \(\pi\).
  • 수학사연표

 

 

==관련된 항목들

 

 

==매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

==관련도서

 

 

사전 형태의 자료

 

 

==리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

==관련논문[1]

[2]

 

 

==관련기사

 

 

==블로그

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