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* <math>\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  \cdots = -\frac{1}{12}</math>
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<math>\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)</math><br> 여기에 <math>s=-1</math> 을 대입하면, 다음을 얻는다.
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<math>\zeta(-1)=2(2\pi)^2\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}</math>
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<math>2S=2 + 4 + 6 + 8 + \cdots</math>
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그러므로,
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<math>1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +  \cdots + 4S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +  \cdots= S</math>
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<math>\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +  \cdots = -\frac{1}{12}</math>
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조금만 수정하면, 제대로 된 증명이 되도록 할 수 있음.
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색<br>
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://viswiki.com/en/
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* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
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* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
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* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
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<h5>관련기사</h5>
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=

2009년 5월 7일 (목) 11:27 판

간단한 소개
  • \(\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\)
  • 즉 다음과 같은 (물리적?) 해석이 가능
  • \(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\)

 

(엄밀한 증명)

리만 제타함수가 만족시키는 다음과 같은 함수방정식을 이용한다.

\(\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)\)
여기에 \(s=-1\) 을 대입하면, 다음을 얻는다.

\(\zeta(-1)=2(2\pi)^2\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}\)

 

(물리학적(?) 증명)

 

보조정리

\(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots = \frac{1}{4}\)

(증명)
테일러정리에 의하면,

\(x-2x^2+3x^3-4x^4+\cdots=\frac{x}{(1+x)^2}\)

본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.
그러므로,

\(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots = \frac{1}{4}\)

(증명끝)

본론으로 돌아가서,

\(S=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots\)

\(2S=2 + 4 + 6 + 8 + \cdots\)

\(4S =2 (2+4+6+8+\cdots)\)

그러므로,

\(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots + 4S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots= S\)

따라서,

\(-3S= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots =\frac{1}{4}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots = -\frac{1}{12}\)

 

조금만 수정하면, 제대로 된 증명이 되도록 할 수 있음.

 

 

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