삼각함수의 값

개요

유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(x=a\pi\)일 때 삼각함수의 값을 구하는 문제는 수학적으로 많이 연구되어 왔음
원분다항식(cyclotomic polynomial)의 해와 깊은 관련이 있어, 본질적으로는 대수방정식을 푸는 문제로 이해할 수 있음
가령 가우스와 정17각형의 작도는 다음과 같은 코사인 값을 얻는 것과 같은 문제\[\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\]
정다각형의 대각선의 길이 문제와 깊은 연관

중학교 수준에서는 이등변삼각형과 정삼각형에 대해 피타고라스의 정리를 사용하여 몇 가지 경우를 계산할 수 있음
더 일반적으로는 \(x^n-1=0\) 방정식의 복소수해를 구하여 실수부와 허수부로부터 \(\theta=m\pi/n\)인 경우의 코사인과 사인값을 얻을 수 있음

\(\cos {\frac{2\pi}{1}} = 1\)

\(\cos {\frac{2\pi}{2}} = -1\)

\(\cos {\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2}\)

\(\cos\frac{2\pi}{4}=0\)

\(\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5 -1}{4}\)

\(\cos\frac{2\pi}{6}=\frac{1}{2}\)

\(\cos\frac{2\pi}{7}=\frac{-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 \sqrt{-3}\right)}}{6}\)

\(\cos\frac{2\pi}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\)

\(\cos\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{2^2}= \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{8}=\cos\frac{\pi}{2^3}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{16}=\cos\frac{\pi}{2^4}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{32}=\cos\frac{\pi}{2^5}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{64}=\cos\frac{\pi}{2^6}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2}\)

\(\tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\)