상수곡률곡면과 사인-고든 방정식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 1월 16일 (월) 13:28 판
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개요
  • 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우
    \(E=1\) , \(F=\cos (\phi (x,t))\), \(G=1\)
  • 가우스 곡률 이 \(K=-1\)이 되도록 하는, 함수 \(\phi (x,t)\) 를 찾는 문제
  • 함수 \(\phi (x,t)\) 가 사인-고든 방정식 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다

 

 

크리스토펠 기호

\(\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ \Gamma _{12}^1 & 0 \\ \Gamma _{21}^1 & 0 \\ \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}\)

 

 

리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)

 

 

가우스 곡률
  • \(K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}\)
  • \(K=-1\) 이 되려면, \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 을 만족시키면 된다

 

 

 

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