슈바르츠 삼각형 함수
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개요==
- automorphic 함수 \(w=S(\alpha,\beta,\gamma;z)\)
- 슈워츠 삼각형 함수라고도 불림
- 세 파라메터 a,b,c에 대한 초기하 미분방정식의 일차독립인 두 해의 비율로 얻어지는 함수
- \(\alpha=1-c,\beta=b-a,\gamma=c-a-b\) 로 두자.
- 리만 사상 정리 에 의하면 복소상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수가 존재한다
- 이 함수의 역함수를 라 한다
- 맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈워츠 목록 의 연구에서 중요한 역할
초기하함수 표현==
- 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)
\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
- 해는 오일러-가우스 초기하함수2F1 으로 표현된다
- 슈바르츠 s-함수는 다음과 같이 쓸 수 있다
\(s(z)=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a',b';c';z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a-c+1,b-c+1;2-c;z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}\)
\(a'=a-c+1\), \(b'=b-c+1\), \(c'=2-c\)
special values
- \(s(0)=0\)
- \(s(1)=\frac{\Gamma (2-c) \Gamma (c-a) \Gamma (c-b)}{\Gamma (1-a) \Gamma (1-b) \Gamma (c)}\)
- \(s(\infty)=\frac{e^{i \pi (1-c)}\Gamma (b) \Gamma (c-a) \Gamma (2-c)}{\Gamma (c) \Gamma (b-c+1) \Gamma (1-a)}\)
예
- 오차방정식과 정이십면체
- \(\alpha=1/5, \beta=1/2, \gamma=1/3\) 로 두면, \(a=-1/60,b=29/60,c=4/5\) 를 얻는다
- \(a=-1/60,b=29/60,c=4/5\) 를 이용하면,
\(s(z)=\frac{z^{1/5} \, _2F_1\left(\frac{11}{60},\frac{41}{60};\frac{6}{5};z\right)}{\, _2F_1\left(-\frac{1}{60},\frac{29}{60};\frac{4}{5};z\right)}\)
- 삼각형의 꼭지점
\(s(0)=0\)
\(s(1)=\frac{\Gamma \left(\frac{19}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{31}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\)
\(s(\infty)=\frac{e^{\frac{i \pi }{5}} \Gamma \left(\frac{29}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{41}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\)
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역==
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSTdyRUw4aG85V28/edit?pli=1
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Schwarz_function
- http://www.proofwiki.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Note on the Schwarz triangle functions
- Mark Harmer, Bull. Austral. Math. Soc. 72(3) pp.385--389, 2005.
- Note on the Schwarz triangle functions
- J. Lehner, Pacific J. Math. 4 (1954), pp. 243--249
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
- automorphic 함수 \(w=S(\alpha,\beta,\gamma;z)\)
- 슈워츠 삼각형 함수라고도 불림
- 세 파라메터 a,b,c에 대한 초기하 미분방정식의 일차독립인 두 해의 비율로 얻어지는 함수
- \(\alpha=1-c,\beta=b-a,\gamma=c-a-b\) 로 두자.
- 리만 사상 정리 에 의하면 복소상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수가 존재한다
- 이 함수의 역함수를 라 한다
- 맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈워츠 목록 의 연구에서 중요한 역할
- 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)
\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\) - 해는 오일러-가우스 초기하함수2F1 으로 표현된다
- 슈바르츠 s-함수는 다음과 같이 쓸 수 있다
\(s(z)=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a',b';c';z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a-c+1,b-c+1;2-c;z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}\)
\(a'=a-c+1\), \(b'=b-c+1\), \(c'=2-c\)
\(s(z)=\frac{z^{1/5} \, _2F_1\left(\frac{11}{60},\frac{41}{60};\frac{6}{5};z\right)}{\, _2F_1\left(-\frac{1}{60},\frac{29}{60};\frac{4}{5};z\right)}\)
\(s(0)=0\)
\(s(1)=\frac{\Gamma \left(\frac{19}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{31}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\)
\(s(\infty)=\frac{e^{\frac{i \pi }{5}} \Gamma \left(\frac{29}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{41}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\)
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSTdyRUw4aG85V28/edit?pli=1
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Schwarz_function
- http://www.proofwiki.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Note on the Schwarz triangle functions
- Mark Harmer, Bull. Austral. Math. Soc. 72(3) pp.385--389, 2005.
- Note on the Schwarz triangle functions
- J. Lehner, Pacific J. Math. 4 (1954), pp. 243--249
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/