열방정식
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 10월 21일 (목) 08:55 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 열의 전달을 기술하는 편미분방정식
\(\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0\)
- 일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현
\(\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u\)
경계조건과 초기조건
- 경계조건 (양 끝점의 온도는 고정)
\( t>0\) 일 때, \(u(0,t)=u(L,t)=0\) - 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
\(u(x,0)=f(x)\)
변수분리를 통한 해
\(u(x,t)=X(x)T(t)\)로 두자.
\(X''(x)=K_{n}X(x)\)
\(T'(t)=\beta K_{n}T(t)\)
여기서 \(K_{n}=-(\frac{n\pi}{L})^2, \n=1,2,3,\cdots\)
\(u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}\) 는 위의 열방정식의 해이다.
가우시안 Heat kernel
- 무한한 길이의 막대를 가정
- 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
\(u(x,0)=f(x)\) - heat kernel (정규분포와 그 확률밀도함수)
\(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\)
자코비세타함수와 열방정식
\(\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)\)
\(\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)\)
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Narasimhan, T. N. (1999), Fourier's heat conduction equation: History, influence, and connections, Rev. Geophys., 37(1), 151–172, doi:10.1029/1998RG900006
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/10.1029/1998RG900006
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)