초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)

이 항목의 수학노트 원문주소

• 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)

 

 

개요

• \(0,1,\infty\) 세 점에서 정규특이점(regular singular points)을 가지는 2계 선형 미분방정식
  
• 다음과 같은 미분방정식을 말함
  \(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
  

• 리만구면 상의 세 점에서 정규특이점을 갖는 미분방정식은 초기하미분방정식으로 변형가능
  

• 19세기에 활발하게 연구
  
• Fuchsian 미분방정식의 간단하고 중요한 예로 이론의 모델을 제공
  

 

 

급수해

• 프로베니우스 급수해 방법으로 찾을 수 있다 [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_solution_to_the_hypergeometric_equation
  
• 다음 급수는 초기하 미분방정식의 해이다
  \(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1\)
  여기서 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\)는 Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호
  

 

 

선형독립인 해

• \(z=0\)에서의 급수해
  \(_2F_1(a,b;c;z)\)
  \(z^{1-c}{}_2F_1(b+1-c,a+1-c;2-c;z)\)
  

 

 

쿰머의 24개 해

• 쿰머의 초기하 미분방정식의 24개 해
  

 

 

메모

• The grand unified theory of 19th century math
  

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 항목들

• 미분방정식
  
• 이계 선형 미분방정식
  

• 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수
  
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
  
• Schwarz-Christoffel mappings
  
• 르장드르 다항식
  

 

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNkNhZEU1d1dUMDA/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_hypergeometric_identities
• http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_differential_equation
• http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_solution_to_the_hypergeometric_equation
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=

 

 

관련논문

• http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7643-8284-1_2

 

 

관련도서

• Conformal Mapping
  
  • Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1
  • Schwarz_functions_and_hypergeometric_differential_equation.pdf