치환적분과 변수분리형 미분방정식

미분방정식 풀때, 변수분리

\(\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}\)

\({g(y)}{dy}={f(x)}{dx}\)

\(\int {g(y)}{dy}=\int {f(x)}{dx}\)

적분한뒤, y를 x의 함수로 쓴다.

이렇게 해도 되는것임? 하는 것이 질문이다.

그런데 사실 이것이 처음이 아니다. 아마 내 기억에는 수학의정석에서도 치환적분에서 이런 표현을 쓰지 않았나 생각이 든다.

\(y\)가 \(x\)의 함수라면 치환적분의 공식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx\)

예)

\(\int \sin^2x \cos x\,dx\) 를 구하라.

\(y=\sin x \)

\(dy=\cos x\,dx\)

\(\int \sin^2x \cos x\,dx=\int y^2 dy=\frac{1}{3}y^3+C=\frac{1}{3}\sin^3 x+C\)

이제부터 \(y\)가 \(x\)의 함수일때, \(dy\) 라는 표현은 \(dy=y'(x)dx\) 라고 이해한다.

이러한 표현이 정당화되는 이유는 치환적분의 공식이 참이기 때문이다. (치환적분의 공식 ~ 합성함수의 미분에 관한 연쇄법칙이다)

사실 우리가 적분을 할때는 함수 \(f(x)\) 가 필요한 것이 아니라 \(f(x)dx\) 와 같은 것이 필요하다.

그러므로 \(f(x)dx\)와 같은 녀석들에게 따로 이름을 붙일 필요가 있겠는데, 이들을 미분형식(differential form) 이라 한다.

그리고 미분형식에는 적분기호 \(\int\)를 씌울수 있다.

기억하자. 적분기호는 함수에 씌우는 것이 아니라 미분형식에 씌우는 것이라고.

\(\int {g(y)}{dy}=\int {f(x)}{dx}\)

\(\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx\)

\(G(y)+c=\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx\)

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