치환적분과 변수분리형 미분방정식

수학노트
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개요

  • 미분방정식을 처음배우면, 아래처럼 변수분리로 해결하는 경우가 있다. \[\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}\]\[{g(y)}{dy}={f(x)}{dx}\]\[\int {g(y)}{dy}=\int {f(x)}{dx}\]
  • 그 다음 양변을 적분한뒤, y를 x의 함수로 쓴다. 이것은 왜 가능할까?



설명

사실 이런 표현을 쓰는 것이 이것이 처음이 아니다. 아마 내 기억에는 수학의정석에서도 치환적분에서 이런 표현을 쓰지 않았나 생각이 든다.



\(y\)가 \(x\)의 함수라면 치환적분의 공식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx\)


예)

\(\int \sin^2x \cos x\,dx\) 를 구하라.


\(y=\sin x \)

\(dy=\cos x\,dx\)

\(\int \sin^2x \cos x\,dx=\int y^2 dy=\frac{1}{3}y^3+C=\frac{1}{3}\sin^3 x+C\)



이제부터 \(y\)가 \(x\)의 함수일때, \(dy\) 라는 표현은 \(dy=y'(x)dx\) 라고 이해한다.

이러한 표현이 정당화되는 이유는 치환적분의 공식이 참이기 때문이다. (치환적분의 공식 ~ 합성함수의 미분에 관한 연쇄법칙이다)


사실 우리가 적분을 할때는 함수 \(f(x)\) 가 필요한 것이 아니라 \(f(x)dx\) 와 같은 것이 필요하다.

그러므로 \(f(x)dx\)와 같은 녀석들에게 따로 이름을 붙일 필요가 있겠다.

그래서 좀더 일반적으로 이러한 녀석들을 미분형식(differential form) 이라 한다. (일반적인 정의에 대해서는 나중에 따로...)

그리고 미분형식에는 적분기호 \(\int\)를 씌울수 있다.


기억하자. 적분기호는 함수에 씌우는 것이 아니라 미분형식에 씌우는 것이라고.

\(\omega\) 가 미분형식이라면, \(\int \omega\) 와 같은 표현은 올바른 표현인 것이다.


미적분학에의 핵심적인 것으로 스토크스의 정리가 있는데, 이는 다양한 미분 적분 공식들의 일반화이기 때문이다. 그리고 스토크스정리는 미분형식을 써야 다음과 같이 아름답게 표현할 수 있다.

\(\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega\)


이제 다시 처음의 질문으로 돌아가면,


\(\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}\)

라는 표현에는 문제가 없다. 그 다음


\({g(y)}{dy}={f(x)}{dx}\)

라는 표현은 미분형식들 사이에 성립하는 다음과 같은 등식이라고 할 수 있다.

\({g(y)}{dy}=g(y(x))}y'(x)dx=f(x)dx\)

그리고 이 녀석은 뜯어보자면,

\(y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y(x))}\)

와 같은 표현인데, 단지 함수 사이의 등식인가 미분형식 사이의 등식인가 차이가 있을 뿐이다.

마지막으로

\(\int {g(y)}{dy}=\int {f(x)}{dx}\)

\(\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx=\int f(x)dx\)

이므로 결국 모든 것은 치환적분의 공식에서 기원했음을 알 수 있다.


결론적으로 말하자면 변수분리의 방식으로 미분방정식을 풀때, \({g(y)}{dy}={f(x)}{dx}\) 라고 해도 되는 것임? 이렇게 묻는다면 그렇게 해도 된다라고 말할 수 있다.

이것이 미분형식들 사이의 등식이며 \(dy=y'(x)dx\) 임을 받아들이고, 미분형식에는 적분기호를 씌울수 있다는 사실을 안다면.



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