클라우센 함수(Clausen function)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 7월 31일 (토) 17:46 판
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개요
  • 정의
    \(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)

 

 

 

dilogarithm 함수와의 관계
  • dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
  • \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
    \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  • \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때
    \(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\)
    \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)

 

 

 

덧셈공식

\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)

 

 

트리감마 함수와 special values

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)

 

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