판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 7월 3일 (금) 16:10 판
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타원곡선의 discriminant
  • \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.
    \(F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)\)
  • 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
  • 이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는
    \(g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)\) 로 주어짐.
  • \(\Delta(\tau)=q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
  • \(\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\)
  • \(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\)

 

 

무한곱 표현과 데데킨트 에타함수
  • 데데킨트 에타함수 
    \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
    의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,
    \(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

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