프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리

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개요

• density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와  프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
• 갈루아 체확장 L/K 

 

 

프로베니우스의 density 정리(1880)

• prime ideal과 cycle type의 관계

 

 

 

체보타레프의 density 정리 (1922)

• prime ideal과 conjugacy class의 관계
  
• • 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
  • There are cases where cycle types are same but the conjugacy classes are different

 

 

밀도 정리를 통한 디리클레 정리의 유도

\(\zeta_n\)는 primitive n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자. 

소수 p에 대한 아틴 심볼은  \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시키는 \(\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\) 로 정의된다.

p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.

한편 \(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.

따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 초등정수론
• 갈루아 이론

 

 

관련된 대학원 과목

• 대수적수론

 

 

관련된 다른 주제들

• 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리
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표준적인 도서 및 추천도서

• Field Arithmetic
  
  • M.D. Fried
  • chapter 6. The Chebotarev Density Theorem
• http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=

 

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Chebotarev's_density_theorem
•  http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_element
• http://en.wikipedia.org/wiki/

 

참고할만한 자료

• Frobenius and his Density theorem for primes
  
  • B. Sury, Springer India,  Volume 8, Number 12 / 2003년 12월
  • http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf
• The Chebotarev Density Theorem
  
  • Hendrik Lenstra
• Chebotarev and his density theorem
  
  • P. Stevenhagen and H. W. Lenstra, Jr
• What is a Reciprocity Law?
  
  • B. F. Wyman
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586