프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리

개요

density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와 프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
갈루아 체확장 L/K

분해 형태가 $n_1,n_2,\cdots,n_r$인 소수 $p$의 집합은 밀도를 가지며, 밀도는 $N/\operatorname{Gal}(f)$으로 주어진다

여기서 \[N =|\{a \in \operatorname{Gal}(f) : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}|\]

prime ideal과 켤레류의 관계
- 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
- 순환마디 형태가 같으나, 서로 다른 켤레류에 있는 갈루아 군의 원소가 존재함
$f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ : 갈루아 군이 G인 최고차항이 1인 기약다항식
$C$가 $G$의 켤레류라 하고, $S$를 아틴 심볼 $\sigma_{p}\in C$인 소수 $p$들의 집합이라 하자

$S$의 밀도가 존재하며 이는 다음과 같이 주어진다 \[\delta(S)=\frac{|C|}{|G|}\]

$\zeta_n$는 primitive n-단위근이고 $K = \mathbb Q(\zeta_n)$라 하자.

$\wp \subset K$ 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 $\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp$ 를 만족시키는 $\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)$ 로 정의된다.

p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.

한편 $\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b$ 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.

따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.