번사이드 보조정리

개요

\[|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|\]

3차원 유한회전군의 분류 항목 참조
$G$가 $SO(3)$의 유한회전군이라 하고, 각 $g\in G,g\neq 1$의 회전축상에 놓인 구면위의 점들의 집합을 $X$라 하자. 즉 $X=\{x\in S^2|gx=x, \text{for some }g\in G,g\neq 1\}$
$g\neq 1$은 두 점만을 고정하므로, 번사이드 정리에 의하여 다음을 얻는다

$$|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|=\frac{|X|}{|G|}+2-\frac{2}{|G|}\label{burn1}$$

궤도 $C\in X/G$에 대하여, $|G_x|, x\in C$는 $x$에 의존하지 않으며, 따라서 $|G_C|:=|G_x|$는 잘 정의된다. 이 때, $|C|=|G|/|G_C|$이 성립한다
$|X|=\sum_{C}|C|=\sum_{C}|G|/|G_C|$로부터 다음을 얻는다

$$|X/G|-\frac{|X|}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}\label{burn2}$$

$$ 2-\frac{2}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|} $$