Q-이항계수 (가우스 다항식)

수학노트
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개요

 

 

 

양자평면
  • 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의
    \(xy=qyx,xq=qx,yq=qy\)
  • 거듭제곱의 전개
    \((x+y)=x+y\)
    \((x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\)
    \((x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\)
    \((x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\)
  • 여기서 등장하는 계수들을 q-이항계수로 정의하고자 한다

 

 

 

q-이항계수
  • 정의
    \({n \choose r}_q={{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\)
    풀어쓰면 다음과 같다
    \({n \choose r}_q=\frac{(1-q^n)\cdots(1-q^{n-r+1})}{(1-q^r)\cdots(1-q^{1})}\)
  • 예
    \({4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3\)
    \({4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4\)
    \({5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4\)
    \({5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)
  • \(n\)이 작을 경우에 대한 q-이항계수의 목록 참조

 

 

점화식
  • 이항계수와 조합에서 얻은 식의 q-analogue
    \({n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q\)
  • 예 q-이항계수의 목록 항목 참조
    \({4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q\)
    \(1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

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