판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)

개요

복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 $\Delta(\tau)$이 얻어짐
푸리에 전개 $\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n$로부터 얻어지는 계수 $\tau(n)$를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐

판별식 함수

타원곡선의 판별식

$\tau\in \mathbb H$ 에 대응되는 타원곡선 $y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)$ 의 판별식은 다음과 주어짐

\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2\] 여기서 $g_2, g_3$는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

정의에 따라 $F$는 weight 12인 모듈라 형식이 됨
한편, $g_2(i\infty)=4\pi^4/3$, $g_3(i\infty)=8\pi^6/27$ 이므로,\[F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\]
따라서 cusp 형식이 됨
이 함수의 $\tau=i\infty$에서의 푸리에 전개는 다음과 같다

\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2=(2\pi)^{12}(q-24q+252q^2\cdots)\]

정의

판별식 함수를 다음과 같이 정의

\[\Delta(\tau):=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\] 여기서 $E_4, E_6$는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

모듈라 성질

위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨

\[\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\]

무한곱 표현과 데데킨트 에타함수

데데킨트 에타함수\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\] 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, 판별식 함수와 같게 됨. 즉,\[\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]

라마누잔의 타우 함수

판별식 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,\[\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\]

라마누잔의 추측

서로 소인 자연수 $m,n$ 에 대하여, $\tau(mn)=\tau(m)\tau(n) \label{ram1}$
소수 $p$와 자연수 $r$에 대하여, $\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1}) \label{ram2}$
소수 $p$에 대하여, $|\tau(p)| \leq 2p^{11/2} \label{ram3}$

1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨

헤케 L-급수

헤케 L-급수를 다음과 같이 정의

$$ L(\Delta,s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \quad \Re(s)>\frac{13}{2} $$

라마누잔 타우 함수의 성질 \ref{ram1}로부터 다음의 무한곱을 얻는다

$$ L(\Delta,s)=\prod_{p}L_p(\Delta,s) \label{hecke} $$ 여기서 $$ L_p(\Delta,s)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\tau(p^n)}{(p^s)^n} $$

성질 \ref{ram2}를 사용하여 다음을 얻는다

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n+1})x^{n+1}=x \tau (p)\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n})x^{n}\right)-p^{11} x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n-1})x^{n-1}\right) $$ 따라서, $$ \sum_{n=0}^{\infty} \tau(p^n)x^n=\frac{1}{1- \tau (p) x+p^{11} x^2} $$ 그리고 $$ L_p(\Delta,s)=\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}} $$

이제 \ref{hecke}은 다음과 같이 쓸 수 있다

$$ L(\Delta,s)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}} $$

L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수

Lehmer의 추측

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $\tau(n)\neq 0 $이다
http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun
미해결

테이블

$$ \begin{array}{c|c} n & \tau(n) \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -24 \\ 3 & 252 \\ 4 & -1472 \\ 5 & 4830 \\ 6 & -6048 \\ 7 & -16744 \\ 8 & 84480 \\ 9 & -113643 \\ 10 & -115920 \\ 11 & 534612 \\ 12 & -370944 \\ 13 & -577738 \\ 14 & 401856 \\ 15 & 1217160 \\ 16 & 987136 \\ 17 & -6905934 \\ 18 & 2727432 \\ 19 & 10661420 \\ 20 & -7109760 \\ \end{array} $$

메모

http://mathoverflow.net/questions/161172/ramanujans-tau-function
Hecke’s theory of Hecke operators
Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
Ramanujan-Petersson Conjectures

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Murty, M. Ram, and V. Kumar Murty. 2013. “The Ramanujan τ-Function.” In The Mathematical Legacy of Srinivasa Ramanujan, 11–23. Springer India. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-81-322-0770-2_2.
Rankin, R. A. 1986. “Fourier Coefficients of Cusp Forms.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100 (1): 5–29. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S030500410006583X.