리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론

개요

• 복소수체 위의 21차원 리대수
• \(C_3\) 타입의 단순 리대수

리대수 \(\mathfrak{sp}(6,\mathbb{C})\)

• \(C_3\) 카르탄 행렬

\[ \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ \end{array} \right) \]

• \(C_3\) 루트 시스템 \(\Phi=\Phi^{+}\cup (-\Phi^{+})\)

\[ \Phi^{+}=\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _2+\alpha _3,2 \alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3\right\} \]

• 바일군 : 크기 48인 유한반사군 콕세터 군 B3/C3
• \(C_3\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
  • \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
  • \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
  • \(\alpha_3=(0,0,2)\)
• fundamental weights
  • \(\omega_1=(1,0,0)\)
  • \(\omega_2=(1,1,0)\)
  • \(\omega_3=(1,1,1)\)
• 바일 벡터 \(\rho=(3,2,1)\)

유한차원 기약 표현의 분류

• 유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3, a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
• 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{720} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (b+2 c+3) (a+b+c+3) (a+b+2 c+4) (a+2 b+2 c+5) \]

기약표현의 예

• 표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의

\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]

• \(x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}\)로 두면, \(\chi_{\lambda}\)는 \(\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]\)의 원소가 된다
• 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조

예1

• 벡터 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
• 6차원 표현
• 지표

\[ \chi_{\omega_1}=\frac{x_1}{x_2}+x_1+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1} \]

• weight diagram

예2

• adjoint 표현, highest weight \(2\omega_1\)
• 21차원 표현
• 지표

\[ \chi_{2\omega_1}=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+x_1^2+\frac{x_3 x_1}{x_2}+\frac{x_3 x_1}{x_2^2}+\frac{x_2 x_1}{x_3}+\frac{x_1}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+\frac{x_3^2}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+x_2+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+\frac{x_2}{x_1 x_3}+\frac{x_2^2}{x_3^2}+\frac{x_3}{x_1}+3 \]

• weight diagram

관련된 항목들

• 리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론
• 리대수 so(6)의 유한차원 표현론
• 콕세터 군 B3/C3

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMEE2SE5CaDFwclU/edit