다중 제타 값

개요

리만제타함수의 다변수 일반화 $\zeta(s_1, \ldots, s_k)$
$s_i$ 가 양의 정수일 때, 오일러 합이라 불림
정수론의 중요한 주제로 물리에서 산란 amplitude 등의 계산에서 등장

정의

다중 제타 값을 다음과 같이 정의

\[ \zeta(s_1, \ldots, s_k) : = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_k^{s_k}} = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \prod_{i=1}^k \frac{1}{n_i^{s_i}}, \!\]

$s_1, \ldots, s_k$가 정수일 때, $w=s_1+\cdots+s_k$를 weight, $k$를 depth로 부른다

이중 제타

오일러의 공식

$$\zeta(2,1)=\zeta(3)$$ $$\zeta(1,2)=-2\zeta(3)$$

여러 가지 관계식

double shuffle

$m,n>1$ 일 때, $$\zeta(m)\zeta(n)=\zeta(m,n)+\zeta(n,m)+\zeta(m+n)$$
증명

$$ \zeta(m)\zeta(n)=(\sum_{j}\frac{1}{j^{m}})(\sum_{k}\frac{1}{k^{n}})=\sum_{j>k}\frac{1}{j^mk^n}+\sum_{j=k}\frac{1}{j^mk^n}+\sum_{j<k}\frac{1}{j^mk^n} $$

오일러 분해 공식

$r,s>1$ 일 때,

$$\zeta(r)\zeta(s)=\sum_{a=0}^{s-1}\binom{a+r-1}{a}\zeta(r+a,s-a)+\sum_{a=0}^{r-1}\binom{a+s-1}{a}\zeta(s+a,r-a)$$

기타

다음이 성립한다

$$ 2\zeta(n,1)=n \zeta(n+1)-\sum_{i=1}^{a-2}\zeta(n-i)\zeta(i+1) $$

예

$$\zeta(2,1)=\zeta(3)$$ $$\zeta(4,1)=2\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3)$$

일차독립인 다중 제타 값의 공간

주어진 무게를 갖는 다중 제타 값이 이루는 벡터 공간의 차원
$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$를 $a_n = a_{n-2} + a_{n-3}$, $a_0=1, a_1=a_2=0$.
이를 파도반 수열이라 하자
1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, 351, 465, 616, 816, 1081, 1432, 1897
Zagier conjectures that a(n+3) is the maximum number of multiple zeta values of weight n > 1 which are linearly independent over the rationals.

메모

http://math.unice.fr/~brunov/GdT/The%20Algebra%20Of%20Multiple%20Zeta%20Values.pdf

계산 리소스

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_zeta_function