Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)

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ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)

개요

리만제타함수는 정수론, 특히 소수 연구에서 아주 중요한 함수임
짝수에서의 리만 제타 함수의 값은 잘 알려져 있음
- 정수에서의 리만제타함수의 값
  $\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1$
홀수 값들에 대해서는 알려진 바가 별로 없음
- $\zeta(3)$은 무리수. (초월성에 대해서는 모름)
- $\zeta(2n+1)$ 중 무리수인 것은 무수히 많다.
- $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ 중 적어도 하나는 무리수이다.

Apery 상수

1979년 Apery는 $\zeta(3)$ 이 무리수임을 보였으며, 이후로 $\zeta(3)$ 는 Apery 상수라 불린다.
다음과 같은 등식이 사용되었다
$\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}$

증명

Apery의 증명보다 좀 더 깔끔한 형태의 증명(Beuker의 증명과 유사)

보조정리 1

충분히 큰 n에 대하여, 1, 2, 3, …, n 의 최소공배수($d_n$라 쓰자)는 $2.99^n$ 보다 작다.

(증명)

$d_n = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}$

소수정리에 의하여, $\pi(n) < \log2.99\cdot \frac{n}{\log n}$ 그러므로 $n^{\pi(n)} < n^{\log_n 2.99^n} = 2.99^n$

그러므로 $d_n$ < $2.99^n$. ■

보조정리 2

r, s 는 음 아닌 정수라 하자.

r > s 이면
- $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy$ 는 분모가 $d_r^2$의 약수인 유리수이다.
- $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy $ 는 분모가 $d_r^3$의 약수인 유리수이다.
r = s 이면
- $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy = \zeta(2) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^2}$
- $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy = 2(\zeta(3) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^3})$
  (여기서 r = 0 이면 $\sum_{j = 1}^{r}a_j = 0$이라 하자)

보조정리 3

$u, v, w \in (0,1)$ 이면, $ $\varphi(u, v, w) = \frac{u(1-u)v(1-v)w(1-w)}{1-(1-uv)w} \le \frac{1}{27}$.

(증명)

산술기하 부등식에서, $1- (1-uv)w = (1-w) + uvw \ge 2\sqrt{1-w}\sqrt{uvw}$이다. 그러므로, $\varphi(u,v,w) \le \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)uvw}(1-u)(1-v)$$ ì´ë¤.$
$0<x<1$에서 $x(1-x)$의 최대값은 $\frac{1}{4}$이고, $x(1-x^2)$의 최대값은 $\frac{2}{3\sqrt{3}}$이다. 그러므로,

$\begin{eqnarray*} \varphi(u,v,w) &\le& \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)w}\cdot\sqrt{u}(1-u)\cdot\sqrt{v}(1-v) \\ &\le& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}\\ &=& \frac{1}{27} \end{eqnarray*} # $■

(정의)

다항식 $P_n$을 다음과 같이 정의하자.

$P_n(x) = \frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\big(x^n(1-x)^n\big)$

이 다항식은 정수계수 다항식인것을 알 수 있다.

보조정리 4

$n\geq 1$ 일 때, $\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=-\frac{1}{n}\int_0^1P_{n-1}(x)f'(x)\,dx=\cdots=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx$.

(증명)

$P_n(x) = \frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\big(x^n(1-x)^n\big)=\frac{1}{n}\frac{d}{dx}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)=\frac{1}{n}P_{n-1}'(x)$

$\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{1}{n}[P_{n-1}(x)f(x)]_{0}^{1}-\frac{1}{n}\int_0^1P_{n-1}(x)f'(x)\,dx=-\frac{1}{n}\int_0^1P_{n-1}(x)f'(x)\,dx$. ■

(정의)

$I_n = \int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}P_n(x)P_n(y) dxdy$ 라고 하자.

보조정리 5

$I_n = \frac{A_n + B_n\zeta(3)}{d_n^3}$를 만족하는 정수 $A_n,\ B_n$가 존재한다.

(증명)

$P_n(x)P_n(y)$는 정수계수 다항식이다. 그러므로, 보조정리 2에 의하여 위의 조건을 만족시키는 정수 $A_n,\ B_n$을 찾을 수 있다. ■

보조정리 6

$0 <|I_{n}| < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}$. 즉, $0 <|I_{n}|=|A_n + B_n \zeta(3)| d_n^{-3} < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}$ 이 성립한다.

(증명)

$\int_0^1\frac{1}{1-(1-xy)z}dz = -\frac{\log(xy)}{1-xy}$이므로, $I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz$라고 쓸 수 있다.

$f(x)=\frac{1}{1-(1-xy)z}$에 보조정리 4를 적용하자. $f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}$ 이므로,

$ \int_0^1\frac{P_n(x)}{1-(1-xy)z} dx=\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx =\int_0^1\frac{P_{0}(x)(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}\,dx$ 을 얻는다.

따라서

$I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz$ 이다.

$w = \frac{1-z}{1-(1-xy)z}$로 치환하면, $I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dxdydw$ 이다.

위와 같이 n 번의 부분적분을 거치면 $I_n = \int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}P_n(x)P_n(y) dxdy = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{\big(x(1-x)y(1-y)z(1-z)\big)^n}{\big(1 - (1-xy)w\big)^{n+1}} dxdydw$

다시, 보조정리 2와 보조정리 3에 의해서

$\begin{eqnarray*} I_n &\le& \frac{1}{27^n} \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1 - (1-xy)w}dxdydz \\ &=& \frac{1}{27^n}\int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}dxdy = \frac{2}{27^n}\zeta(3) \end{eqnarray*}$

최종적으로 다음이 성립한다.$0 < |A_n + B_n \zeta(3)| d_n^{-3} < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}$. ■

귀류법을 이용한 명제의 증명

귀류법을 사용하자. 결론을 부정하여 $\zeta(3)$이 유리수, 예컨대 $$\zeta(3) = \frac{a}{b}$ 라 하자(a, b는 서로소인 자연수).

보조정리 1에 의하여,

$0 < |bA_n + aB_n| < 2b \zeta(3) \Big(\frac{d_n}{3^n}\Big)^3 < 2b \zeta(3) \Big(\frac{2.99}{3}\Big)^{3n} $

충분히 큰 n을 잡으면, 자연수인 $|bA_n + aB_n|$ 가 1보다 작아지므로 모순이다.

그러므로, $\zeta(3)$은 무리수이다.■

재미있는 사실

Math Overflow
http://mathoverflow.net/questions/30659/establishing-zeta3-as-a-definite-integral-and-its-computation/30698#30698
http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

메모

http://www.math.uu.nl/people/beukers/caen.pdf

$\begin{eqnarray*} I_n &=& \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz\\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ P_n(y)}{1-(1-xy)z} d\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) dydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) yz \frac{\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)}{\big(1-(1-xy)z\big)^2} dxdydz \end{eqnarray*}$

위 과정을 n번 반복하면 $I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz$이다.

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