타원 내의 격자점 개수 문제

개요

• 타원 \(Ax^2+Bxy+Cy^2=T\) , \(A>0\), \(C>0\), \(T>0\)
• 판별식 \(\Delta=b^2-4ac\)
• 타원 내부의 넓이는 \(\frac{2\pi T}{\sqrt{|\Delta|}}\)

정리

타원 \(Ax^2+Bxy+Cy^2=T\) , \(A>0\), \(C>0\), \(T>0\) 의 내부에 있는 정수격자점의 개수 \(N(T)\)에 대하여, $T\to \infty$일 때, 다음이 성립한다. \[|N(T)-\frac{2\pi T}{\sqrt{|\Delta|}}| \approx O(\sqrt{T})\]

예

• 타원 $5 x^2+3 x y+2 y^2=20$ 의 경우
• 내부의 격자점의 개수는 23, 타원의 넓이는 $\frac{40 \pi }{\sqrt{31}}\sim 22.5699$

관련된 항목들

• 타원
• 타원의 넓이
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVGdvZ2VMZ0t5YVk/edit
• http://mathematica.stackexchange.com/questions/16094/highlight-integer-points-in-regionplot/16105#16105

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_circle_problem

리뷰, 에세이, 강의노트

• http://www.math.rochester.edu/undergraduate/sums/reu/2005_galante-joseph.pdf

관련논문

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• Kordyukov, Yuri A., and Andrey A. Yakovlev. “On a Problem of Geometry of Numbers Arising in Spectral Theory.” arXiv:1507.06279 [math], July 22, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06279.
• Lagacé, Jean, and Leonid Parnovski. ‘A Generalised Gauss Circle Problem and Integrated Density of States’. arXiv:1506.07115 [math-Ph], 23 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07115.
• Shaneson, Julius L. “Estimates on Lattice Points in the Circle.” arXiv:1409.2446 [math], September 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.2446.
• Huxley, M. N. ‘Exponential Sums and Lattice Points III’. Proceedings of the London Mathematical Society 87, no. 3 (11 January 2003): 591–609. doi:10.1112/S0024611503014485.
• G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283