타원의 넓이

개요

• <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1</math> 로 주어진 영역의 넓이를 구하는 문제
• 넓이는 <math>\pi a b</math>로 주어진다

일변수 미적분학의 응용

• 적분

<math>A=4\int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \,dx</math>

의 계산

• 삼각치환을 이용할 수 있다

다변수 미적분학에서의 치환적분

• 이중적분

<math>A=\int\int_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} \,dxdy</math>

<math>x=aX</math>, <math>y=bY</math> 로 치환하면, 내부의 면적은 다음 적분으로 주어지게 된다.

<math>A=ab \int\int_{{X^2}+{Y^2}\leq 1} dXdY</math>

따라서 면적은 <math>\pi a b</math>. ■

그린 정리의 응용

그린 정리에서 얻어진 공식

<math>A=\oint_{C} x dy = \oint_{C} - y dx =\frac{1}{2}\oint_{C} x dy-y dx</math>

를 이용할 수 있다.

타원의 매개화 <math>\mathbf{r}(t)=(a\cos t,b\sin t), \quad 0\le t \le 2\pi </math>를 이용하면, <math>xy'-yx'=ab \cos^2 t+ab \sin^2 t=ab</math> 를 얻고, 따라서

<math>A=\frac{1}{2}\oint_{C} x dy-y dx=\pi ab</math>

■

관련된 항목들

• 타원
• 타원 둘레의 길이
• 타원내의 격자점 개수 문제