타원 내의 격자점 개수 문제

수학노트
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개요

  • 타원 <math>Ax^2+Bxy+Cy^2=T</math> , <math>A>0</math>, <math>C>0</math>, <math>T>0</math>
  • 판별식 <math>\Delta=b^2-4ac</math>
  • 타원 내부의 넓이는 <math>\frac{2\pi T}{\sqrt{|\Delta|}}</math>


정리

타원 <math>Ax^2+Bxy+Cy^2=T</math> , <math>A>0</math>, <math>C>0</math>, <math>T>0</math> 의 내부에 있는 정수격자점의 개수 <math>N(T)</math>에 대하여, <math>T\to \infty</math>일 때, 다음이 성립한다.

<math>|N(T)-\frac{2\pi T}{\sqrt{|\Delta|}}| \approx O(\sqrt{T})</math>


예

  • 타원 <math>5 x^2+3 x y+2 y^2=20</math> 의 경우
  • 내부의 격자점의 개수는 23, 타원의 넓이는 <math>\frac{40 \pi }{\sqrt{31}}\sim 22.5699</math>

타원내의 격자점 개수 문제1.png


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관련논문

  • Kelmer, Dubi. “Lattice Points in a Circle for Generic Unimodular Shears.” arXiv:1508.00487 [math], August 3, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.00487.
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  • G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'gauss'}, {'LOWER': 'circle'}, {'LEMMA': 'problem'}]
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