마델룽 상수

수학노트
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개요

  • 이온 결정에서 하나의 이온이 갖는 정전기 포텐셜에 대한 상수
  • 격자 위의 합


정사각 격자

1차원

  • 양이온과 음이온이 직선상에 교대로 놓여 있는 경우

$$ \sum_{j=-\infty}^{\infty}' \frac{(-1)^{j+1}}{j}=2\log 2=1.38629\cdots $$


2차원

  • 양이온과 음이온이 2차원 정사각격자에 교대로 놓여 있는 경우

$$ \sum _{i=-\infty }^{\infty } \underset{j=-\infty }{\overset{\infty }{\sum '}}\frac{(-1)^{i+j}}{\sqrt{i^2+j^2}}=1.61554\cdots $$


3차원

$$ \sum _{i=-\infty }^{\infty } \sum _{j=-\infty }^{\infty } \sum _{k=-\infty }^{\infty } '\frac{(-1)^{i+j+k+1}}{\sqrt{i^2+j^2+k^2}}=1.74756\cdots $$


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관련논문

  • Mamode, Malik. “Computation of the Madelung Constant for Hypercubic Crystal Structures in Any Dimension.” arXiv:1511.05981 [math-Ph, Physics:physics], November 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.05981.
  • Borwein, David, Jonathan M. Borwein, and Keith F. Taylor. “Convergence of Lattice Sums and Madelung’s Constant.” Journal of Mathematical Physics 26, no. 11 (November 1, 1985): 2999–3009. doi:10.1063/1.526675.
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