가우스 합

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 8월 13일 (목) 09:47 판
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간단한 소개

\(g_a(\chi) := \sum_{t \in \Z/p\Z} \chi(t) e^{2 \pi i a t/p}\)

 

\(g_1(\chi) = \begin{cases} \sqrt{p}, & p \equiv 1 \pmod{4}, \\ i \sqrt{p}, & p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases}\)

 

 

정17각형의 작도 과정에서 나타나는 가우스합
  • \(\zeta=e^{2\pi i \over 17}\)  로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
  • \((3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}\)
  • 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
    • \(A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}\)
    • \(A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}\)
    • \(A_0+A_1= -1\) 임은 쉽게 알 수 있음
    • \(A_0-A_1\) 는 가우스합이므로 \(A_0-A_1=\sqrt{17}\)
    • \(A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\) , \(A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\)

 

 

 

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