프로베니우스 원소

개요

\(K\) : 수체
\(K/\mathbb{Q}\) : 갈루아 체확장
\(p\) : unramified prime
\(\mathfrak{p}\mid p\)
\(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}(a)\equiv a^p\pmod{\mathfrak{p}}\) 를 만족하는 유일한 \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\in \operatorname{Gal}(k_ {\mathfrak{p}}/\mathbf{F}_p)\) 가 존재한다

\(\operatorname{Frob}_{\sigma\mathfrak{p}} = \sigma\operatorname{Frob}_ {\mathfrak{p}}\sigma^{-1}\)
\(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\) 에서의 conjugacy class를 정의
\(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)가 아벨군인 경우, \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\) 는 \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)의 원소 \(\sigma_{p}=\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\) 를 정의함

\(K = \mathbb Q(\sqrt{d})\)
p는 unramified
\(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{1,-1\}\) 로 두면, \(\sigma_{p}=\left(\tfrac{d}{p}\right)\)