가우스 합과 데데킨트 합의 관계
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개요
정의
- 데데킨트합
\(\operatorname{ddk}(a,c)=\frac{1}{4 c}\sum _{n=0}^{c-1} \cot \left(\frac{\pi (2 n+1)}{2 c}\right) \cot \left(\pi \left(\frac{a (2 n+1)}{2 c}+\frac{1}{2}\right)\right)\) - 가우스합
\(\operatorname{Ga}(a,c)=\frac{1}{\sqrt{c}}\sum _{r=0}^{|c|-1} \exp \left(\frac{i \pi a r^2}{c}\right)\) - remark
이 정의는 데데킨트 합 에서의 정의와는 다르다
\(s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\)
(정리)
\(\operatorname{Ga}(a,c)=\exp(-\pi i \operatorname{ddk}(a,c))\)
메모
- #
Jacobi triple product
\(\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\) - \(z=1\) 인 경우
\(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2\)
\(\sqrt{t}\theta(\frac{p}{q}+it)\sim \frac{1}{q}S(p,q)=\frac{1}{q}\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\)
\(\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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- The World of Mathematical Equations
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관련논문
- SCZECH, Robert. 1995. “Gaussian Sums, Dedekind Sums and the Jacobi Triple Product Identity.” Kyushu Journal of Mathematics 49 (2): 233–241. doi:10.2206/kyushujm.49.233
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet