로그함수와 유리함수가 있는 정적분

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 2일 (금) 07:41 판 (찾아 바꾸기 – “==관련논문== * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= * http://www.ams.org/mathscinet * http://dx.doi.org/” 문자열을 “” 문자열로)
둘러보기로 가기 검색하러 가기

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

  • 다음 정적분의 계산
    \(\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx=\pi\ln2\)
  • 로그 사인 적분 (log sine integrals)의 다음 결과를 이용할 수 있다
    \(\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=-\frac{\pi\ln 2}{2}\)

 

 

 

치환적분을 이용한 방법

\(I=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx\) 에서 \(x=\tan (t)\) 로 두면,

\(I=\int_0^{\frac{\pi }{2}} \log \left(\sec ^2(t)\right) \, dt=-2 \int_0^{\frac{\pi }{2}} \log (\cos (t)) \, dt\)

로그 사인 적분 (log sine integrals) 에서 얻은

\(\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=-\frac{\pi\log 2}{2}\) 와 \(\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\log(\cos x)\,dx\) 이용하면, \(I=\pi\ln2\) 를 얻는다.

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 


 

 

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=로그함수와_유리함수가_있는_정적분&oldid=8499"