로그함수와 유리함수가 있는 정적분

수학노트
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개요

  • 다음 정적분의 계산:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx=\pi\ln2</math>
  • 로그 사인 적분 (log sine integrals)의 다음 결과를 이용할 수 있다:<math>\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=-\frac{\pi\ln 2}{2}</math>




치환적분을 이용한 방법

<math>I=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx</math> 에서 <math>x=\tan (t)</math> 로 두면,

<math>I=\int_0^{\frac{\pi }{2}} \log \left(\sec ^2(t)\right) \, dt=-2 \int_0^{\frac{\pi }{2}} \log (\cos (t)) \, dt</math>

로그 사인 적분 (log sine integrals) 에서 얻은

<math>\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=-\frac{\pi\log 2}{2}</math> 와 <math>\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\log(\cos x)\,dx</math> 이용하면, <math>I=\pi\ln2</math> 를 얻는다.




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