루트2는 무리수이다
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 12월 23일 (목) 08:28 판
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개요
\(\sqrt{2}=1.41421356237309504880168872420969807856967\cdots\)
증명
√2를 유리수라 한다면, 분수 꼴의 형태로 나타낼 수 있다.
임의의 정수 a, b를 사용해 분수 꼴로 나타내면 √2=b/a(a, b는 서로소인 정수, a≠0)
양변을 제곱하면 2=b^2/a^2 ⇒ 2a^2=b^2
b^2은 짝수이며, b^2이 짝수이므로 b도 짝수가 된다
b가 짝수이므로, b=2c가 되는 정수 c를 잡으면
2a^2=b^2=4c^2 ⇒ a^2=2c^2
a^2은 짝수이며, a^2이 짝수이므로 a도 짝수가 된다
그런데 a와 b가 모두 짝수이면 a와 b가 서로소라는 가정에 모순된다
따라서 √2는 유리수가 아니다
(물론 유리수가 아닌 실수이므로 무리수이다)
재미있는 사실
역사
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참고할만한 자료
- Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof
- Tom M. Apostol, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 9 (Nov., 2000), pp. 841-842
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
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