부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)

수학노트
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리우빌의 정리

(정리 ) 리우빌, 1835

(a) \(F\)가 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 대수적함수이고,  \(y_1,\cdots,y_m\) 는 \(x\)의 함수로 \(\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}\) 는 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 대수적함수로 표현되면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)\)  여기서 \(C_j\)는 상수이고, \(U_j\)는 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 대수적함수

(b)  \(F\)가 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 유리함수이고,  \(y_1,\cdots,y_m\) 는 \(x\)의 함수로 \(\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}\) 는 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 유리함수로 표현되면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)\)  여기서 \(C_j\)는 상수이고, \(U_j\)는 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 유리함수 


리우빌 정리의 특수한 경우

(정리 ) 리우빌, 1835

 

\(f(x), g(x)\) 는 유리함수이면,  (단, \(g(x)\) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.

(i)\(\int f(x)e^{g(x)} \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) 유리함수 \(R(x)\)가 존재하여 \(f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)\) 를 만족시킨다.

 

(증명)은 [Ritt48]

  • 노트
    • \(F(x,y_1)=xy_1\), \(y_1=e^{g(x)}\) 로 두면 리우빌 정리(b)의 조건을 만족시킴
      \(y_1'=g'(x)e^{g(x)}=g'(x)y_1\) 는 \(x,y_1\) 의 유리함수

 

(따름정리)

정수 n에 대하여 \(\int x^{2n}e^{ax^2} dx\) (\(a\neq 0\))는 초등함수가 아니다.

자연수 n에 대하여 \(\int x^{-n}e^{cx} dx\) (\(c\neq 0\))는 초등함수가 아니다.

 

 

예

\(\int e^{-\frac{x^2}{2}} dx\)

\(\int \sqrt{\ln x} dx=\int 2t^2e^{t^2}dt\), \(t^2=\ln x\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{\ln x}} dx=\int 2e^{t^2}dt\), \(t^2=\ln x\)

\(\int \frac{e^{ax}}{\sqrt{x}} dx=\int 2e^{at^2}dt\), \(t^2=x\)

\(\int e^{e^{x}} dx=\int \frac{e^t}{t}dt\), \(t=e^x\)

\(\int \frac{1}{\ln x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt\), \(t=\ln x\)

\(\int \ln(\ln x)dx = x\ln (\ln x) -\int \frac{1}{\ln x} dx\)

\(\int \frac{\sin x}{x} dx = \mbox{Im}(\int \frac{e^{ix}}{x}dx)\)

  • 참고 [MAR94]

 

 

체비셰프의 정리

(정리)

유리수 \(p,q,r\neq0\)와 실수 \(a,b\)에 대하여, 다음 둘은 동치이다.

 

(i)\(\int x^p(a+bx)^q \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) \(\frac{(p+1)}{r},q,\frac{(p+1)}{r}+q\) 중에 적어도 하나는 정수이다.

 

 

예

\(\int \sqrt[3]{1+x^2}dx\) 는 초등함수가 아니다.

\(f(x)=x^k\) 의 그래프의 길이함수 \(\int \sqrt{1+k^2x^{2k-2}}\,dx\) 는 \(k=1\) 또는 \(k=1+\frac{1}{n}\) 일 때만 초등함수이다.

\(\int \sqrt{\sin x}\,dx=\int u^{1/2}(1-u&2)^{-1/2}\,du\) (\(u=\sin x\)) 는 초등함수가 아니다. 

 \(\int \sqrt{\cos x}\,dx\) 는 초등함수가 아니다.

 \(\int \sqrt{\tan x}\,dx\)는 초등함수이다. (\(u^2=\tan x\))

정수 \(m,n\)에 대하여, \(\int (1-x^n)^{1/m}\) 는 초등함수이다. \(\iff\) \(m=\pm 1\) 또는 \(n=\pm 1\) 또는 \(m=n=2\) 또는 \(m=-n\)

\(\int (\sin x)^m(\cos x)^n \,dx\) 는 모든 정수 \(m,n\)에 대하여 초등함수이다.  

 

 

 

 

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관련된 다른 주제들

 

표준적인 도서 및 추천도서
  • [Ritt48]Integration in finite terms: Liouville's theory of elementary methods
    • Joseph Fels Ritt,1948

 

위키링크

 

 

참고할만한 자료
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