슈바르츠 삼각형 함수

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슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)

개요

automorphic 함수
슈워츠 삼각형 함수라고도 불림
세 파라메터 a,b,c에 대한 초기하 미분방정식의 일차독립인 두 해의 비율로 얻어지는 함수
\(\alpha=1-c,\beta=b-a,\gamma=c-a-b\) 로 두자.
리만 사상 정리 에 의하면 복소평면의 상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수가 존재한다
이 함수의 역함수를 슈워츠 s-함수라 한다
맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈워츠 목록 의 연구에서 중요한 역할

s함수의 초기하함수 표현

초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)
\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
해는 오일러-가우스 초기하함수2F1 으로 표현된다

\(s(z)=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a',b';c';z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a-c+1,b-c+1;2-c;z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}\)

\(a'=a-c+1\), \(b'=b-c+1\), \(c'=2-c\)

예

오차방정식과 정이십면체

\(\alpha=1/5, \beta=1/2, \gamma=1/3\) 로 두면, \(a=-1/60,b=29/60,c=4/5\) 를 얻는다
\(a=-1/60,b=29/60,c=4/5\) 를 이용하면,
\(s(z)=\frac{z^{1/5} \, _2F_1\left(\frac{11}{60},\frac{41}{60};\frac{6}{5};z\right)}{\, _2F_1\left(-\frac{1}{60},\frac{29}{60};\frac{4}{5};z\right)}\)
\(s(1)=\frac{\Gamma \left(\frac{19}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{31}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\)

역사

메모

http://scholar.google.com/scholar?hl=ko&lr=&cites=15616345421055553453&um=1&ie=UTF-8&ei=b7oGTqSRFZSusAOp-7W6DQ&sa=X&oi=science_links&ct=sl-citedby&resnum=8&ved=0CF8QzgIwBw

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관련논문

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- Mark Harmer, Bull. Austral. Math. Soc. 72(3) pp.385--389, 2005.
Note on the Schwarz triangle functions
- J. Lehner, Pacific J. Math. 4 (1954), pp. 243--249
http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://www.ams.org/mathscinet
http://dx.doi.org/

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