원주율과 적분

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개요

삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.

단위원의 둘레의 길이와 적분

이제 단위원의 둘레의 길이를 미적분학을 통해 표현해보자.

단위원 C의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 \(x^2+y^2=1\)을 이용하자. \(y=\sqrt{1-x^2}\)를 이용하면, C의 둘레의 길이의 절반은

\(\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)^2} \, dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 표현된다.

원주율은 \(\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 정의된다.

단위원의 면적과 적분

\(\int \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=x \sqrt{1-x^2}+C\)

\(\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=0\)

\(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)

대수적 함수와 아벨적분

사인/아크사인함수 덧셈정리의 적분표현
\(\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\\)
\(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)
\(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx \)

재미있는 사실

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단위원의 둘레의 길이와 적분

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