좌표계

간단한 소개

"어떻게 하면 점의 위치를 숫자로 표현할 수 있을까?" 에 대한 문제.

차원 수만큼의 숫자가 필요하다. 직선 위의 점은 하나의 수, 평면 위의 점은 두 개의 수, 공간 위의 점은 세 개의 수, ..., n 차원 공간 안의 점은 n 개의 수로 표현할 수 있다. 

 

르네 데카르트 "방법서설" 에 해석기하학에 대한 아이디어가 처음 등장.  (직교좌표계)

 

다양한 좌표계가 존재한다. 그때그때 상황에 맞는 좌표계를 선택하면 문제를 빨리 풀수 있는 경우가 많다. (특히 물리적 상황에서) 다양한 곡선의 방정식을 좀더 간단하고 아름답게 표현할 수 있기도 하다.

 

굉장히 많은 좌표계가 존재한다. 대표적인 것들만 아래에 간략하게 다룸.

 

평면좌표계

직교좌표계 (x, y) : 직교하는 두 축

극좌표계 (r, \theta) : 하나의 반직선(극선)

극선을 x 축의 양의 방향으로 했을 때

\(x = r \cos \theta\)

\(y = r \sin \theta\)

 

좌표계의 변환

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(\theta=\arctan{\frac{y}{x}}\)

 여기서 \(\arctan{x}\) 는 \(\tan{x}\) 의 역함수.

 

넓이소 \( dA = dxdy = rdrd\theta\)

1. 그림으로 이해하기

[/pages/4594197/attachments/2515177 cartesian.jpg]      [/pages/4594197/attachments/2515179 polar_copy.jpg]

큰 그림은 여기서 보자.

그림에서 근사 기호가 아니라 등호가 사용된 데에 대해 의문을 가질 수도 있겠다. 하지만, 간격 \(dr\), \(d\theta\) 가 굉장히 작아지면 이 오차는 의미가 없게 된다.

 

2. 야코비안

\(J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r\)

\(dA=J \,dr \,d\theta = r\,dr\,d\theta\)

 

 

공간좌표계

직교좌표계 (x, y, z)

원통좌표계(r, theta, z)

구면좌표계(rho, theta, phi)

 

넓이소와 부피소에 대한 이야기

 

원통좌표계\[\mathrm dS= \rho\,d\varphi\,dz.\]

\(\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz.\)

 

구면좌표계 \[\mathrm{d}S=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\]

\(\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\)

 

예

원, 구의 부피 구하기

 

등등등

 

링크

• 위키링크 좌표계
  
  • 좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system
    
  • 직교좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system
    
  • 극좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system
    
  • 구면좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinates
    
  • 원통좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_system
    
  • orthogonal coordinates 목록 http://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system#A_list_of_orthogonal_coordinate_systems