타니야마-시무라 추측(정리)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 23일 (수) 05:48 판
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개요
  • 유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계

 

 

 

예1. 타원곡선  \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)
  • 타원곡선
    \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)
    conductor = 11
  • 유리수체 위의 해의 개수
    \(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
    \(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\) :
    \(a_p=p+1-M_p\)
  • 모듈라 형식
    \(f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots\)
  • 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 임을 볼 수 있음
    2    -1    -2
    3    -1    -1
    5    1    1
    7    -2    -2
    11    1    1
    13    4    4
    17    -2    -2
    19    0    0
    23    -1    -1
    29    0    0
    31    7    7
    37    3    3
    41    -8    -8
    43    -6    -6
    47    8    8
    53    -6    -6
    59    5    5
    61    12    12
    67    -7    -7
    71    -3    -3

 

예2. 타원곡선  \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)
  • 타원곡선
    \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)
    conductor = 20
  • 유리수체 위의 해의 개수
    \(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
    \(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\)
    \(a_p=p+1-M_p\)
  • 모듈라 형식
    \(f(\tau)={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots\)
  • 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 임을 볼 수 있음
    2    0    0
    3    -2    -2
    5    -1    -1
    7    2    2
    11    0    0
    13    2    2
    17    -6    -6
    19    -4    -4
    23    6    6
    29    6    6
    31    -4    -4
    37    2    2
    41    6    6
    43    -10    -10
    47    -6    -6
    53    -6    -6
    59    12    12
    61    2    2
    67    2    2
    71    -12    -12

 

 

다른 예
  • \(y^2=x^3 + 4 x\)와
     

 

  •  

 

푸리에계수

 

 

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관련논문
  • Number Theory as Gadfly
    • B. Mazur, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 7 (Aug. - Sep., 1991), pp. 593-610

 

 

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