파이 π는 초월수이다

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 6월 16일 (화) 15:58 판
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증명의 개요

 

 

증명

먼저 \(e\)가 초월수임을 증명해보자. 더 일반적으로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명할 수 있다.

 \(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. 

이제 \(\pi\)가 초월수임을 증명하자.  \(\pi\)가 만약 대수적수라면, 

 

Now, we prove that π is transcendental. If π were algebraic, 2πi would be algebraic too (since 2i is algebraic), and then by the Lindemann–Weierstrass theorem e2πi = 1 (see Euler's formula) would be transcendental, which is absurd.

 

 

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\(\{e^0, e^{\alpha}\}\)

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