판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)

수학노트
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타원곡선의 discriminant
  • \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.
    \(F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)\)
  • 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
  • 또한 cusp 형식이 됨.
    \(g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}\), \(g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}\) 이므로,
    \(F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\)

 

정의
  • \(\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
  • \(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\) 로 표현가능

 

모듈라 성질
  • 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨
    \(\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\)

 

 

무한곱 표현과 데데킨트 에타함수
  • 데데킨트 에타함수 
    \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
    의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,
    \(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

 

 

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