판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)

이 항목의 스프링노트 원문주소

• 판별식 (discriminant) 함수

 

 

타원곡선의 discriminant

• \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.
  \(F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)\)
  
• 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
  
• 또한 cusp 형식이 됨.
  \(g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}\), \(g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}\) 이므로,
  \(F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\)
  

• 이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는
  \(g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)\) 로 주어짐.
  
• \(g_2, g_3\)에 대해서는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) 항목을 참조
  

 

 

정의

• \(\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
  
• \(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\) 로 표현가능
  

 

 

모듈라 성질

• 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨
  \(\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\)
  

 

 

무한곱 표현과 데데킨트 에타함수

• 데데킨트 에타함수
  \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
  의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,
  \(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)
  

 

라마누잔의 타우 함수

• discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,
  \(\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\)
  

 

 

Lehmer의 추측

• 모든 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 \(\tau(n)\neq 0 \)이다
  

 

 

메모

• Hecke’s theory of Hecke operators
  
• Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
  
• Ramanujan-Petersson Conjectures
  

 

 

관련된 항목들

• 데데킨트 에타함수
  
• 라마누잔(1887- 1920)
  

 

 

관련논문

• Lehmer, D.H.: The vanishing of Ramanujan’s τ(n). Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)