보존과 임계성 - 랑제방 접근

앞 글에서 말한 무노즈 그룹의 논문(arXiv:0905.1799v2)에 나오는 내용을 좀더 자세히 소개하려 합니다. 큰 그림을 먼저 그려보면, 방향성 있는 스미기 보편성 분류(DP class)에 보존장이 추가되면 보존되는 방향성 있는 스미기 보편성 분류(C-DP class)로 임계점의 성질이 바뀌고, 여기에 에너지 흩어지기와 이 손실을 보충해주는 에너지 주입이 도입되면 동역학적 스미기 보편성 분류(dynamical percolation class; 제 편의상 dynP로 쓰겠습니다)로 다시 한 번 성질이 바뀐다는 겁니다. 즉 DP + [보존장] → C-DP + [손실/주입] → dynP 입니다.

DP에 관한 랑제방 방정식은 아래 미분방정식으로 기술합니다. ρ(x, t)는 시각 t에서 위치 x의 활성(activity)을 뜻하며, 활성장(activity field)으로 부르겠습니다.

\(\partial_t\rho(\vec x,t)=a\rho-b\rho^2+D\nabla^2\rho +\sigma\sqrt{\rho}\eta(\vec x,t)\)

a, b는 조절변수, D는 확산계수, η는 하얀 노이즈입니다. 각 위치에서 활성은 a, b에 의존해 반응하여 변하며 또한 활성이 주변으로 확산되는 반응/확산에 관한 방정식으로 이해하면 됩니다.

여기에 보존되는 배경 에너지(보존장; conserved field)가 깔리면 이는 활성에 영향을 주기도 합니다. 바짝 마른 숯이 많이 깔려 있는 곳이 그렇지 않은 곳보다 불이 더 잘 붙고 더 잘 주변으로 옮겨지는 걸 생각하면 됩니다. 

\(\partial_t\rho(\vec x,t)&=&a\rho-b\rho^2+w\rho E+D\nabla^2\rho +\sigma\sqrt{\rho}\eta(\vec x,t)\\ \partial_t E(\vec x,t)&=&D_E\nabla^2\rho(\vec x,t)\)

보존장 E와 활성장 ρ가 곱해진 항이 활성장의 방정식에 추가된 게 보이시죠? E는 활성장의 반응에만 의존해서 확산되므로 위의 두번째 식처럼 쓸 수 있습니다. 두번째 식의 양변을 시간 t로 적분하면 아래 결과가 나오겠죠.

\(E(\vec x,t)=E(\vec x,0)+D_E\int_0^t dt'\nabla^2\rho(\vec x,t')\)

이걸 ρ에 관한 첫번째 식에 넣으면 E가 소거됩니다. 대신 미분방정식은 비마코프 과정이 됩니다. 이런 식으로 DP 분류와는 다른 C-DP 분류로 임계점의 성질이 바뀝니다.

이제 활성에 비례하는 에너지 손실(흩어지기)을 도입하겠습니다.

\(\partial_t E(\vec x,t)=D_E\nabla^2\rho(\vec x,t)-\epsilon\rho(\vec x,t)\)

이 에너지 손실을 조절해주는 조절변수는 ε입니다. 이 두 항 중에 새로 넣은 항에 비해 그 앞의 확산 항은 중요하지 않다고 하네요. 그래서 첫번째 항을 무시하고, 위에서 했던 것처럼 시간으로 적분한 후 ρ에 관한 식에 집어넣어주면,

\(\partial_t\rho(\vec x,t)=[a+wE(\vec x,0)]\rho-b\rho^2-\epsilon w\rho\int_0^t dt'\nabla^2\rho(t') +D\nabla^2\rho +\sigma\sqrt{\rho}\eta\)

이 됩니다. 적분 항은 그 자리에서 지금까지 잘 활성화되었다면 앞으로는 힘들 거라는 말입니다. 이건