로저스 다이로그 함수 (Rogers dilogarithm)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 2일 (금) 15:01 판
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개요




정의

  • \(x\in (0,1)\)에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의
    \(L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}dy\)
  • \((-\infty,0],[1,+\infty)\)를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨
  • \(dL(y)=\frac{1}{2}[\log(y)d\log (1-y)-\log(1-y)d\log (y)]\)

함수의 그래프

  • \(x\in (0,1)\) 에서의 그래프

로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)1.gif

  • 함수 방정식을 이용한 확장

로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)2.gif

반사공식(오일러)

  • \(0\leq x \leq 1\) 일 때
    \(L(x)+L(1-x)=L(1)\)



5항 관계식

  • \(0\leq x,y\leq 1\) 일 때,
    \(L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\left( \frac{1-x}{1-xy}\right)=\frac{\pi^2}{2}\)


special values

\(L(0)=0\)

\(L(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(L(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(L(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}\)

\(L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}\)

\(L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}\)

  • non-unitary \(c(2,k+2)\) minimal models \[\sum_{i=1}^{[k/2]}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}})=\frac{k-1}{k+2}\cdot \frac{\pi^2}{6}\]

역사



메모

관련된 항목들



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