엡슈타인 제타함수

수학노트
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개요


이차형식과 제타함수

  • $\tau=x+iy\in \mathbb{C}$에 대하여, \(|m\tau+n|^{2}=m^2 (x^2+y^2)+2 m n x+n^2\)
  • 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\)이고 \(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 Epstein 제타함수를 다음과 같이 정의

\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\]

\[E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)\] \[\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)\]

$$ \begin{aligned} \zeta_Q(s) & = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right)+O(s-1) \\ {}&=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|}))- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1) \end{aligned} $$ 여기서 \[\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a},y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\]


(따름정리)

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 양의정부호 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여, 다음이 성립한다.


$$ \begin{aligned} \lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) & = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\}\\ {} & =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\} \end{aligned} $$ 여기서 \(\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)

라마누잔 class invariants 와의 관계

\(Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2\)와 \(Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2\), \(m=2ac\)에 대하여 위의 따름정리를 적용하면,

\(\tau=i\sqrt\frac{2c}{a}\), \(\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\)

\(\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\)

  • 여기서 \[g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\]\[\tau=i\sqrt{n}=i\sqrt{\frac{2c}{a}}\] 인 경우
  • 라마누잔의 class invariants 참조




역사



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