합동수 문제 (congruent number problem)

개요

자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 congruent number라 함
타원곡선 $y^2=x^3-n^2x$ 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
주어진 n이 congruent number 인지를 판정하는 방법이 있으나, Birch and Swinnerton-Dyer 추측에 의존하고 있다 [Tunnell1983]

타원곡선과의 관계

(정리)

자연수 $n$ 은 congruent number 이다

$\iff$ 타원곡선 $y^2=x^3-n^2x$ 이 $y\neq0$인 유리해를 갖는다.

$\iff$ 타원곡선 $y^2=x^3-n^2x$ 의 rank가 1이상이다.

(증명)

직각삼각형의 세 변의 길이가 $a,b,c$로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 $n$ 이라 하자. 다음의 연립방정식이 만족된다. $$ \left\{ \begin{array}{c} a^2 + b^2 &=& c^2 \\ \frac{ab}{2} &=& n \end{array} \right. $$

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다. \[(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\]

$u=\frac{c}{2}$, $v=\frac{a^2-b^2}{4}$ 로 두자.

디오판투스 방정식 $u^4-n^2=v^2$ 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

$u^4-n^2=v^2$에서 $u^6-n^2u^2=u^2v^2$ 를 얻은 뒤, $x=u^2$, $y=uv$ 로 두면, 타원곡선의 방정식 $y^2=x^3-n^2x$을 얻는다.

따라서 세 변의 길이가 $a,b,c$이고 그 넓이가 $n$인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선 $y^2=x^3-n^2x$의 유리해를 얻는다.

그러면 역으로 타원곡선 $y^2=x^3-n^2x$의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?

$y\neq0$인 유리수해 $(x,y)$ 에 대하여

$a=|\frac{n^2-x^2}{y}|$, $b=|\frac{2nx}{y}|$, $c=|\frac{n^2+x^2}{y}|$

로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다.

한편 타원곡선 $y^2=x^3-n^2x$의 torsion은 $\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}$ 뿐이므로, $y\neq0$인 유리수해 $(x,y)$ 의 존재는 타원곡선 $y^2=x^3-n^2x$ 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■

n=1 의 경우

n=1은 congruent number 가 아니다
페르마 infinite descent http://books.google.com/books?id=lJxOgVcHBlkC&pg=PA54&lpg=PA54&dq=infinite+descent+fermat+congruent+number&source=bl&ots=NZoJGuIQ55&sig=HU8Y2s5MU004XJTwxTQ1eGwqr54&hl=ko&sa=X&ei=vbMYT_p5pI6KApm64e0K&ved=0CEkQ6AEwBA#v=onepage&q=infinite%20descent%20fermat%20congruent%20number&f=false
타원곡선 $y^2=x^3-x$의 유리수해는 다음과 같다\[E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \]
따라서 n=1은 congruent number 가 아니다
타원곡선 y^2=x^3-x 항목 참조

n=5인 경우

5는 congruent number 이다
- 세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
- $\frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}$
- 5는 가장 작은 congruent number이다

n=6인 경우

6은 congruent number이다\[y^2=x^3-36x\]의 모든 정수해는$(x,y)= (0, 0), (\pm6, 0), (â3,\pm9), (â2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)$ 이다.
사각 피라미드 퍼즐 항목 참조

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http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273 참조

메모

http://modular.math.washington.edu/edu/2007/spring/ent/ent-html/node92.html

역사

수학사 연표

수학용어번역

사전 형태의 자료

계산 리소스

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=congruent+number
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273

합동수 문제 (congruent number problem)

목차

개요

타원곡선과의 관계

n=1 의 경우

n=5인 경우

n=6인 경우

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