디리클레 유수 (class number) 공식

개요

• 디리클레의 유수 공식은 수체의 유수(class number)를 비롯한 여러 불변량과 \(\zeta_{K}(s)\)의 \(s=1\)에서의 residue 사이의 관계를 표현

\[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\]

• 기호
  • $r_1$는 real embedding 의 개수, $2r_2$는 complex embedding의 개수
  • \(h_K\) 는 class number
  • \(w_K\)는 \(\mathcal{O}_K\) 의 unit group의 크기
  • \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant)
  • $\operatorname{Reg}_K$는 regulator

데데킨트 제타함수

• 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨

\[\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}\]

용어번역

• class - 대한수학회 수학용어집

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula