클라우센 함수(Clausen function)
개요
- 정의\[\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\]
- 로그 사인 적분 (log sine integrals) 으로 일반화된다
- 로바체프스키 함수 와의 관계\[Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\]
dilogarithm 함수와의 관계
- 다이로그 함수(dilogarithm)는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
\[\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\]
- \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
- \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때\[\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\]\[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\]
- 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)
덧셈공식
\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)
트리감마 함수와 special values
- \(\theta=p\pi/q\)일 때, (\(p,q\in\mathbb{N}\), \(p=1,2,\cdots,2q-1\))\[\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}\]
여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마 함수(trigamma function) - \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\), \(G\)는 카탈란 상수
- \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)
- http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Clausen_function
- http://mathworld.wolfram.com/ClausensIntegral.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
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- Djurdje Cvijović, J. Math. Phys. 50, 023515 (2009)
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- Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311
- [1]Formulae concerning the computation of the Clausen integral Cl2(θ)
- C.C. Grosjean, J. Comput. Appl. Math. 11 (1984), pp. 331–342
- On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral
- P. J. de Doelder, J. Comput. Appl. Math. 11, 325 (1984)
- Efficient Calculation of Clausen's Integral
- Van E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 22, No. 104 (Oct., 1968), pp. 883-884