합동수 문제 (congruent number problem)

개요

• 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 congruent number라 함
• 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
• 주어진 n이 congruent number 인지를 판정하는 방법이 있으나, Birch and Swinnerton-Dyer 추측에 의존하고 있다  [Tunnell1983]

 

 

타원곡선과의 관계

(정리)

자연수 \(n\) 은 congruent number 이다

 \(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 이 \(y\neq0\)인 유리해를 갖는다.

 \(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이다.

(증명)

직각삼각형의 세 변의 길이가 \(a,b,c\)로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 \(n\) 이라 하자. 다음의 연립방정식이 만족된다. $$ \left\{ \begin{array}{c} a^2 + b^2 &=& c^2 \\ \frac{ab}{2} &=& n \end{array} \right. $$

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다. \[(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\]

\(u=\frac{c}{2}\), \(v=\frac{a^2-b^2}{4}\) 로 두자.

디오판투스 방정식 \(u^4-n^2=v^2\) 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

\(u^4-n^2=v^2\)에서 \(u^6-n^2u^2=u^2v^2\) 를 얻은 뒤, \(x=u^2\), \(y=uv\) 로 두면, 타원곡선의 방정식 \(y^2=x^3-n^2x\)을 얻는다.

따라서 세 변의 길이가 \(a,b,c\)이고 그 넓이가 \(n\)인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선  \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해를 얻는다.

그러면 역으로 타원곡선  \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?

\(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 에 대하여

\(a=|\frac{n^2-x^2}{y}|\), \(b=|\frac{2nx}{y}|\), \(c=|\frac{n^2+x^2}{y}|\)

로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다. 

한편 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 torsion은 \(\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}\) 뿐이므로, \(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 의 존재는 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■

 

 

n=1 의 경우

• n=1은 congruent number 가 아니다
• 페르마 infinite descent
• 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 유리수해는 다음과 같다\[E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \]
  
• 따라서 n=1은 congruent number 가 아니다
• 타원곡선 y^2=x^3-x 항목 참조

 

 

n=5인 경우

• 5는 congruent number 이다
  
  •  세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
  • \(\frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}\)
  • 5는 가장 작은 congruent number이다

 

 

n=6인 경우

• 6은 congruent number이다\[y^2=x^3-36x\]의 모든 정수해는 \((x,y)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다.
  
• 사각 피라미드 퍼즐 항목 참조
  

 

 

 

목록

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• http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273 참조
  

 

 

메모

• http://modular.math.washington.edu/edu/2007/spring/ent/ent-html/node92.html

 

 

역사

• 수학사 연표

 

 

관련된 항목들

• 사각 피라미드 퍼즐
• 타원곡선
• 피타고라스 쌍(Pythagorean triple)

 

 

수학용어번역

• congruent - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/congruent_number
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=

 

 

계산 리소스

• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=congruent+number
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273

 

 

관련논문

• Mock heegner points and congruent numbers Paul Monsky, Mathematische Zeitschrift, Volume 204, Number 1 / 1990년 12월
• [Tunnell1983]A classical diophantine problem and modular forms Tunnell, J.B., Invent. Math.72, 323–334 (1983)
• The Congruent Number Problem Ronald Alter, The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 1 (Jan., 1980), pp. 43-45

 

관련도서

• Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers Volume II
  • Chapter XVI