프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리

개요

density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와 프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
갈루아 체확장 L/K

prime ideal과 순환 마디 형태의 관계
$f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ : 갈루아 군이 $G=\operatorname{Gal}(f)$인, 차수가 $n$이고 최고차항이 1인 기약다항식
$f$의 서로 다른 해를 $\alpha_1,\cdots, \alpha_n$으로 두면, $G$는 치환군 $S_n$의 부분집합으로 볼 수 있다
소수 $p$에 대하여, $f(x) \pmod p$의 인수분해로부터 $n$의 분할 $n_1,n_2,\cdots,n_r$가 정의된다
주어진 분해 형태로부터, 같은 순환 마디 형태를 갖는 $G$의 원소들의 집합 $N$, 즉 $N =\{a \in G : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}$을 정의하자

분해 형태가 $n_1,n_2,\cdots,n_r$인 소수 $p$의 집합 $S$는 $\delta(S)$를 가지며, 이는 $\delta(S)=|N|/|G|$으로 주어진다

prime ideal과 켤레류의 관계
- 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
- 순환마디 형태가 같으나, 서로 다른 켤레류에 있는 갈루아 군의 원소가 존재함
$f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ : 갈루아 군이 G인 최고차항이 1인 기약다항식
$C$가 $G$의 주어진 켤레류라 하고, $S$를 아틴 심볼 $\sigma_{p}\in C$인 소수 $p$들의 집합이라 하자

$S$의 밀도 $\delta(S)$가 존재하며 이는 $\delta(S)=|C|/|G|$로 주어진다

$\zeta_n$는 primitive n-단위근이고 $K = \mathbb Q(\zeta_n)$라 하자.

$\wp \subset K$ 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 $\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp$ 를 만족시키는 $\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)$ 로 정의된다.

p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.

한편 $\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b$ 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.

따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.