리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 16일 (월) 10:07 판
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개요
  • \(L=\langle E,F,H \rangle\)
  • commutator
    \([E,F]=H\)
    \([H,E]=2E\)
    \([H,F]=-2F\)
  • universal enveloping algebra의 PBW 기저 \(\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}\)

 

 

highest weight representation
  • highest weight representation
    \(E.v_0=0\)
    \(H.v_0=\lambda v_0\)

 

 

 

 

유한차원 기약표현의 분류
  • 각 \(m\geq 0\) 에 대하여, m+1 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재한다
  •  

 

 

파울리 행렬
  • raising and lowering 연산자
    \(\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\)
    \(\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
    \(\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
    \([\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\)

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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