리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 16일 (월) 21:43 판
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개요
  • 리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\)

 

 

리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\)
  • \(L=\langle E,F,H \rangle\)
  • commutator
    \([E,F]=H\)
    \([H,E]=2E\)
    \([H,F]=-2F\)
  • universal enveloping algebra의 PBW 기저 \(\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}\)

 

 

highest weight representation
  • \(\mathbb{F}\) : algebraically closed field with characteristic 0
  • \(V\) :유한차원인 기약표현
  • \(V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{F}}V_{\lambda}\), \(V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}\)
  • \(\lambda\in \mathbb{F}\) 에 대하여, highest weight vector \(v_0\) 를 정의
    \(Ev_0=0\)
    \(Hv_0=\lambda v_0\)
  • \(v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0\) 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다
    \(H v_j=(\lambda -2j)v_j\)
    \(F v_j=(j+1)v_{j+1}\)
    \(E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}\)
  • \(\{v^j|j\geq 0\}\) 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 L-모듈이 되려면, \(\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0\) 이 만족되어야 한다

 

 

유한차원 기약표현의 분류
  • 각 \(m\geq 0\) 에 대하여, m+1 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재한다
  • 모든 유하차원 기약표현 \(V\)에 대하여 적당한 \(m\geq 0\)에 대하여 \(V\simeq V(m)\)

 

 

파울리 행렬
  • 파울리 행렬
  • raising and lowering 연산자
    \(\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\)
    \(\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
    \(\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
    \([\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\)

 

 

 

 

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