자연수의 약수의 합

개요

자연수 $n$에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 $n$의 약수인 수의 합
$\sigma(n)$ 으로 나타냄\[\sigma(n)=\sum_{d|n}d\]
더 일반적으로 $n$의 약수인 수의 $r$거듭제곱의 합도 정의 됨\[\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r\]
곱셈에 대하여 좋은 성질을 가짐
분할수에 대한 연구에서 자연스럽게 등장함
모듈라 형식(modular forms)인 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)의 계수로 나타남

성질

서로 소인 자연수 $m,n$ 에 대하여, $\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)$
소수 $p$ 에 대하여, $\sigma(p^{k}) = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}$

점화식

(정리)

$\sigma(k)$은 다음 공식을 만족한다.

$k$가 오각수가 아닌 경우

$\sigma(k) =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots$

$k$가 오각수 즉 $k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}$ 꼴로 주어진 경우

$\sigma(k) + (-1)^{j}k =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots$

(증명)

생성함수를 다음과 같이 두자.

$A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n$

$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}(1+q^m+q^{2m}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n$ 이므로 $A(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mx^{m}}{1-x^{m}}$임을 알 수 있다.

이제 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)를 활용하자.

$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^\infty (1-x^m)$

위의 우변에 로그미분을 취한 다음 $-x$를 곱하면,

$-x\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mx^{m}}{1-x^{m}}=A(x)$

따라서

$A(x)f(x)=-xf'(x)$를 얻는다.

$A(x)f(x)=(\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n)(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)$ 이므로

$x^k$의 계수는 $\sigma(k)-(\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots)$ 로 주어진다.

한편,

$-xf'(x)=\sum_{j=-\infty}^\infty (-1)^{j+1}\frac{j(3j-1)}{2}x^{j(3j-1)/2}$ ■

오각수가 아닌 경우의 예
- $\sigma(10)=18$
- $\sigma(9) + \sigma(8)-\sigma(5)-\sigma(3)=13+15-6-4=18$
- $\sigma(20)=42$
- $\sigma(19) + \sigma(18)-\sigma(15)-\sigma(13)+\sigma(8)+\sigma(5)=20+39-24-14+15+6=42$
오각수인 경우의 예
- $\sigma(5)+5=6+5=11$
- $\sigma(4) + \sigma(3)=7+4=11$
- $\sigma(12)-12=28-12=16$
- $\sigma(11) + \sigma(10)-\sigma(7)-\sigma(5)=12+18-8-6=16$

분할수의 점화식과의 유사성을 눈여겨볼 것\[p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\]

20까지 자연수의 약수의 합 목록

$n$과 $\sigma(n)$의 값

1    1
2    3
3    4
4    7
5    6
6    12
7    8
8    15
9    13
10    18
11    12
12    28
13    14
14    24
15    24
16    31
17    18
18    39
19    20
20    42

100까지 자연수의 약수의 합 목록 항목 참조

해석학적 결과

Bachmann, $n\to \infty$일 때,

$$ \sum_{j=1}^n \sigma(j)=\frac{\pi^2}{12}n^2+O(n\log n) $$

Gronwall, $n\to \infty$일 때,

$$ \limsup_{n\to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \log \log n}=e^{\gamma} $$ 여기서 $\gamma$는 오일러상수, 감마

로빈 (Robin) 다음은 리만가설과 동치이다

모든 자연수 $n\geq 5041$에 대하여 $$ \sigma(n)< e^{\gamma} n \log \log n $$

자연수의 약수의 합

목차

개요

성질

점화식

20까지 자연수의 약수의 합 목록

해석학적 결과

역사

메모

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

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